树是一种非线性的数据结构，相对于线性的数据结构(链表、数组)而言，树的平均运行时间更短(往往与树相关的排序时间复杂度都不会高)
树的介绍
1. 树的定义
树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
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每个节点有零个或多个子节点；
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没有父节点的节点称为根节点；
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每一个非根节点有且只有一个父节点；
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除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。
2. 树的基本术语
若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的”双亲”，子树的根是该结点的”孩子”。有相同双亲的结点互为”兄弟”。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。
结点的度：结点拥有的子树的数目。
叶子：度为零的结点。
分支结点：度不为零的结点。
树的度：树中结点的最大的度。
层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。
树的高度：树中结点的最大层次。
无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。
有序树：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。
森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。
二叉树的介绍
1. 二叉树的定义
二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。
2. 二叉树的性质
二叉树有以下几个性质：TODO(上标和下标)
性质1：二叉树第 $i$ 层上的结点数目最多为 $ 2^{i-1} $ (i≥1)。
性质2：深度为 $k$ 的二叉树至多有$2^{k}-1$ 个结点(k≥1)。
性质3：包含 n 个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)。
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
2.1 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 $2^{i-1}$ (i≥1)。
证明：下面用”数学归纳法”进行证明。
- 当i=1时，第 i 层的节点数目为 $2^{i-1}=2^{0}=1$。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
- 假设当 $i>1$ ，第i层的节点数目为 $2^{i-1}$ 。这个是根据(1)推断出来的！ 下面根据这个假设，推断出”第(i+1)层的节点数目为 $2^{i}$ “即可。 由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故”第(i+1)层上的结点数目” 最多是 “第i层的结点数目的2倍”。即，第(i+1)层上的结点数目最大值 $=2×2^{i-1}=2^{i}$ 。 故假设成立，原命题得证！
2.2 性质2：深度为k的二叉树至多有 $2^{k}-1$ 个结点(k≥1)
证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用”性质1”可知，深度为 k 的二叉树的结点数至多为： $2^0 + 2^1+… + 2^{k-1} = 2^{k} - 1$ 故原命题得证！
2.3 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)
证明：根据”性质2”可知，高度为h的二叉树最多有 $2^{h}–1$ 个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。
3. 满二叉树，完全二叉树和二叉查找树
3.1 满二叉树
定义：高度为 h，并且由$2^{h} –1$个结点的二叉树，被称为满二叉树。(除最后一层外，每一层上的所有节点都有两个子节点)
3.2 完全二叉树
定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。(除最后一层外，每一层上的节点数都达到最大值；在最后一层上至缺少右边的若干节点，如下图：)
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。
3.3 二叉查找树
定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
在二叉查找树中：
(01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
(04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。
二叉树的遍历
前序遍历(DLR)：
- 若二叉树为空，则结束返回；否则：
- 先访问根节点，然后 访问左节点，最后访问右节点 （根-左-右）
中序遍历(LDR)：
- 若二叉树为空，则结束返回；否则：
- 先访问左节点，然后凡哥维纳根节点，最后访问右节点（左-跟-右）
后序遍历(LRD)：
- 若二叉树为空，则结束返回；否则：
- 先访问左节点，然后 访问右节点，最后访问根节点（左-右-根）
