奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用

1. 回顾特征值和特征向量
2. SVD的定义
3. SVD计算举例
4. SVD的一些性质
5. SVD用于PCA
6. SVD小结　
7. python 代码
参考

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法。

1. 回顾特征值和特征向量

特征值和特征向量的定义如下：

$Ax=\lambda x$

其中 $A$ 是一个 $n×n$ 的实对称矩阵， $x$ 是一个 $n$ 维向量，则我们说 $λ$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，而 $x$ 是矩阵 $A$ 的特征值λλ所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的 $n$ 个特征值 $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq … \leq \lambda_n$ , 以及这 $n$ 个特征值所对应的特征向量 ${w_1,w_2,…w_n}$ , 如果这 $n$ 个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

$A=W\Sigma W^{-1}$

其中 $W$ 是这 $n$ 个特征向量所张成的 $n×n$ 维矩阵，而 $Σ$ 为这 $n$ 个特征值为主对角线的 $n×n$ 维矩阵。

一般我们会把 $W$ 的这 $n$ 个特征向量标准化，即满足 ll $w_i$ ll $_2$ = 1 , 或者说 $w_i^Tw_i =1$ 此时 $W$ 的 $n$ 个特征向量为标准正交基，满足 $W^TW=I$ ，即 $W^T=W^{-1}$ , 也就是说W为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成 :

$A=W\Sigma W^T$

注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个 $m×n$ 的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

$A = U\Sigma V^T$

其中 $U$ 是一个 $m×m$ 的矩阵， $Σ$ 是一个 $m×n$ 的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值， $V$ 是一个 $n×n$ 的矩阵。 $U$ 和 $V$ 都是酉矩阵，即满足 $U^TU=I, V^TV=I$ 。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的 $U, \Sigma, V$ 这三个矩阵呢？

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到 $n×n$ 的一个方阵 $A^TA$ 。既然 $A^TA$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

$(A^TA)v_i = \lambda_i v_i$

$或 A^{T} A=V \Lambda_{1} V^{T}$

这样我们就可以得到矩阵 $A^TA$ 的 $n$ 个特征值和对应的 $n$ 个特征向量 $v$ 了。 $n$ 个特征值形成的矩阵$\Lambda_{1}$ , 矩阵$\Lambda_{1}$ 的大小 $n \times n$ 。将 $A^TA$ 的所有特征向量张成一个 $n×n$ 的矩阵 $V$ ，就是我们SVD公式里面的 $V$ 矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量（right singular vector）。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到 $m×m$ 的一个方阵 $AA^T$ 。既然 $AA^T$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

$(AA^T)u_i = \lambda_i u_i$

$或 A^{T} A=U \Lambda_{2} U^{T}$

这样我们就可以得到矩阵 $AA^T$ 的 $m$ 个特征值和对应的 $m$ 个特征向量 $u$ 了。 $m$ 个特征值形成的矩阵$\Lambda_{2}$ , 矩阵$\Lambda_{2}$ 的大小 $m \times m$ 。将 $AA^T$ 的所有特征向量张成一个 $m×m$ 的矩阵 $U$ ，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将 $U$ 中的每个特征向量叫做A的左奇异向量（left singular vector）。

矩阵 $\Lambda_{1}$ 和矩阵 $\Lambda_{2}$ 的大小不同，但矩阵 $\Lambda_{1}$ 和矩阵 $\Lambda_{2}$ 对角线上的非零元素却是相同的。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵 $Σ$ 没有求出了。由于 $Σ$ 除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值 $σ$ 就可以了。

我们注意到:

$A=U\Sigma V^T \Rightarrow AV=U\Sigma V^TV \Rightarrow AV=U\Sigma \Rightarrow Av_i = \sigma_i u_i \Rightarrow \sigma_i = Av_i / u_i$

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵 $Σ$ 。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说 $A^TA$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而 $AA^T$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。

$A=U\Sigma V^T \Rightarrow A^T=V\Sigma^T U^T \Rightarrow A^TA = V\Sigma^T U^TU\Sigma V^T = V\Sigma^2V^T$

上式证明使用了: $U^TU=I, \Sigma^T\Sigma=\Sigma^2$ 。可以看出 $A^TA$ 的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到 $AA^T$ 的特征向量组成的就是我们 SVD 中的 $U$ 矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$

样也就是说，我们可以不用 $\sigma_i = Av_i / u_i$ 来计算奇异值，也可以通过求出 $A^TA$ 的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right)$

我们首先求出 $A^TA$ 和 $AA^T$ :

$\mathbf{A^TA} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1 &1\\ 1&1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2& 1 \\ 1& 2 \end{array} \right)$

$\mathbf{AA^T} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0& 1 &1\\ 1&1& 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 0\\ 1& 2 & 1\\ 0& 1& 1 \end{array} \right)$

进而求出 $A^TA$ 的特征值和特征向量：

$\lambda_1= 3; v_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right); \lambda_2= 1; v_2 = \left( \begin{array}{ccc} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right)$

接着求 $AA^T$ 的特征值和特征向量：

$\lambda_1= 3; u_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{6} \end{array} \right); \lambda_2= 1; u_2 = \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \end{array} \right); \lambda_3= 0; u_3 = \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{array} \right)$

利用 $Av_i = \sigma_i u_i, i=1,2$ 求奇异值：

$\left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right) = \sigma_1 \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{6} \end{array} \right) \Rightarrow \sigma_1=\sqrt{3}$

$\left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right) = \sigma_2 \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \end{array} \right) \Rightarrow \sigma_2=1$

当然，我们也可以用 $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$ 直接求出奇异值为 $\sqrt{3}$ 和 $1$ .

最终得到A的奇异值分解为：

$A=U\Sigma V^T = \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} \\ 2/\sqrt{6} & 0 & -1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right)$

4. SVD的一些性质

上面我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的 $k$ 个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

$A_{m \times n} = U_{m \times m}\Sigma_{m \times n} V^T_{n \times n} \approx U_{m \times k}\Sigma_{k \times k} V^T_{k \times n}$

其中 $k$ 要比 $n$ 小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵 $U_{m \times k},\Sigma_{k \times k} ,V^T_{k \times n}$ 来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

5. SVD用于PCA

在主成分分析（PCA）原理总结中，要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵 $X^TX$ 的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵 $X^TX$ ，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵 $X^TX$ 最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 $X^TX$ ，也能求出我们的右奇异矩阵 $V$ 。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn 的PCA 算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是 $m \times n$ 的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵 $XX^T$ 最大的d个特征向量张成的 $m \times d$ 维矩阵 U，则我们如果进行如下处理：

$X'_{d \times n} = U_{d \times m}^TX_{m \times n}$

　可以得到一个 $d \times n$ 的矩阵 X‘,这个矩阵和我们原来的 $m \times n$ 维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。　　　

6. SVD小结　

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。

7. python 代码

In [1]: import numpy as np

In [2]: np.set_printoptions(suppress=True)

In [3]: a =  np.array([[0,1],
   ...:                [1,1],
   ...:                [1,0]])

In [4]: a = np.mat(a)

In [5]: a
Out[5]:
matrix([[0, 1],
        [1, 1],
        [1, 0]])

In [6]: a.T*a
Out[6]:
matrix([[2, 1],
        [1, 2]])

In [7]: a*a.T
Out[7]:
matrix([[1, 1, 0],
        [1, 2, 1],
        [0, 1, 1]])

In [8]: u, sigma, vt = np.linalg.svd(a)

In [9]: u
Out[9]:
matrix([[-0.40824829,  0.70710678,  0.57735027],
        [-0.81649658,  0.        , -0.57735027],
        [-0.40824829, -0.70710678,  0.57735027]])

In [10]: vt
Out[10]:
matrix([[-0.70710678, -0.70710678],
        [-0.70710678,  0.70710678]])

In [11]: sigma
Out[11]: array([1.73205081, 1.        ])

In [12]: S = np.zeros([3,2])
    ...: for i in range(2):
    ...:     S[i][i] = sigma[i]
    ...:

In [13]: S
Out[13]:
array([[1.73205081, 0.        ],
       [0.        , 1.        ],
       [0.        , 0.        ]])


# 还原
In [14]: tmp = np.dot(u,S)

In [15]: tmp
Out[15]:
matrix([[-0.70710678,  0.70710678],
        [-1.41421356,  0.        ],
        [-0.70710678, -0.70710678]])

In [17]: np.dot(tmp,vt)
Out[17]:
matrix([[ 0.,  1.],
        [ 1.,  1.],
        [ 1., -0.]])

有几点需要注意的地方：

python 中的 svd 分解得到的 VT 就是 V 的转置。
sigma 本来应该跟A矩阵的大小 $3\times 2$ 一样 , Python中svd后得到的sigma是一个行向量，Python中为了节省空间只保留了 A 的奇异值，所以我们需要将它还原为奇异值矩阵。同时需要注意的是，比如一个 $3\times 2$ 大小的矩阵的奇异值只有两个，但是他的奇异值矩阵应该是 $3\times 2$ 的，所以后面的我们需要手动补零，并不能直接使用 diag 将sigma对角化。

奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用

1. 回顾特征值和特征向量

2. SVD的定义

3. SVD计算举例

4. SVD的一些性质

5. SVD用于PCA

6. SVD小结

7. python 代码

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6. SVD小结　